Вектор магнитной индукции формула

84. Линии индукции магнитного поля. Единица индукции

Линия, проведенная в магнитном поле так, что в любой ее точке касательная совпадает с вектором индукции ( и рис. 119, а) магнитного поля в этой точке, называется линией индукции магнитного поля. Чтобы получить картину линий индукции, надо большое число магнитных стрелок поместить в магнитное поле. Расположение стрелок и покажет форму линий индукции. В качестве таких стрелок берутся железные опилки, которые в магнитном поле намагничиваются и, взаимодействуя друг с другом, сцепляются своими концами, образуя цепочки, изображающие линии индукции. За направление линии индукции принято направление, которое показывает северный полюс магнитной стрелки в данном месте поля. Поэтому вектор индукции в данной точке поля имеет направление, совпадающее с направлением линии индукции, проведенной через эту точку.

Рис. 119. Линии индукции магнитного поля

Линии индукции прямого проводника с током представляют концентрические окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных направлению тока, причем центры всех этих окружностей находятся на оси проводника (см. рис.118, б). Их направление определяется по правилу буравчика. У магнитного поля прямого тока магнитных полюсов нет. Линии индукции, магнитного поля катушки с током внутри нее параллельны (см. рис. 119, б), а вне катушки не параллельны. Катушка с током имеет два магнитных полюса. Ее полярность, а следовательно, и направление линий индукции внутри катушки, определяется по правилу обхвата ее правой рукой (рис. 119, в): если взять катушку правой рукой так, чтобы четыре пальца указывали направление тока, то расположенный вдоль катушки большой палец укажет на конец катушки, который является северным магнитным полюсом, а также покажет направление линий индукции внутри катушки. Магнитные поля катушки с током и постоянного магнита тождественны. Северный и южный полюсы существуют только парами — получить один полюс невозможно.

Как и в случае электростатического поля, через каждую точку пространства можно провести только одну линию индукции. Следовательно, эти линии нигде не пересекают друг друга. В отличие от линий напряженности электростатического поля (см. рис. 50) линии индукции магнитного поля являются замкнутыми линиями как магнитного поля тока, так и постоянного магнита (рис. 119, г). Замкнутость линий индукции указывает на то, что магнитное поле является вихревым. Они всегда охватывают тот ток или движущийся заряд, с которым связано магнитное поле. Некоторые из линий индукции замыкаются в непосредственной близости тока, другие — вдали от него, и тогда нам кажется, что они уходят обоими концами в бесконечность (см. рис. 119, б, г).

Условились линии индукции проводить так, чтобы число линий, проходящих через единицу площадки, перпендикулярной вектору индукции в данной точке, было равно величине индукции поля в этом месте. Магнитные спектры дают представление о распределении магнитной индукции по величине и направлению.

Исходя из формулы индукции, установим единицу измерения индукции магнитного поля в Международной системе единиц:

Рис. 120. К понятию тесла и измерение магнитометром индукции магнитного поля магнита

За единицу индукции магнитного поля тесла принята индукция такого однородного магнитного поля, в котором на прямолинейный проводник длиной в 1 м, с током 1 а, расположенный перпендикулярно к линиям индукции*, действует сила в 1 н (рис. 120, а). На рис. 120, б показано измерение магнитометром величины магнитного поля постоянного магнита.

* ()

Индукция магнитного поля Земли невелика: у экватора около 32*10-6 тл, у полюсов — 65*10-6 тл, в районе Курской магнитной аномалии — 190*10-6 тл. В настоящее время в лабораториях с помощью катушек получены магнитные поля с индукцией до 15 тл.

Рис. 121. Зависимость индукции магнитного поля тока от формы проводника

Зависит ли величина индукции магнитного поля тока от формы проводника? Между сторонами проводника, имеющего форму, как на рис. 121, а, поместим магнитную стрелку и проводник подключим к источнику тока. Наблюдаем большое отклонение стрелки. Сделав проводник прямолинейным (рис. 121, б) и расположив под ним магнитную стрелку, пропустим по нему ток, как и в первом случае. Заметим небольшое отклонение стрелки. Скрутим проводник, как показано на рис. 121, в; видим, что стрелка не отклоняется, т. е. у скрученного (бифилярного) проводника магнитного поля нет. Чем больше индукция магнитного поля, тем сильнее оно действует на магнитную стрелку. Из опытов делаем вывод: величина индукции магнитного поля тока зависит от формы проводника: _а> _б, _в =0. При прочих равных условиях величина индукции магнитного поля наибольшая у проводника в форме катушки.

Появление понятия магнитной индукции

На заре эпохи развития электричества люди стали исследовать сопутствующие явления. Так, Ханс Эрстед в 1819 году обнаружил: проводник с током создает вокруг круговое магнитное поле, Андре-Мари Ампер показал, что если направление движения зарядов совпадает, соседствующие проводники притягивают друг друга. Конец спорам положило создание закона Био-Савара (отечественные источники добавляют Лапласа), описывающего величину, направление магнитной индукции в точке пространства. Источники допускают оговорку касательно того, что исследования велись постоянного тока.

Взаимосвязь индукции и напряженности магнитного поля

Интегрирование (см. рисунок) идет по контуру с током. В формуле r подразумевает элементарную среднюю точку текущего отрезка, r0 – место пространства, для которого вычисляется магнитная индукция

Обратите внимание, в знаменателе дроби за интегралом перемножаются два вектора. Результатом выходит величина, направление которой определим по правилу буравчика (левой или правой руки)

Интегрирование ведется по элементу контура dr, r – средняя точка малого отреза полной длины. Идентичные разности в числителе и знаменателе сократим, остается вверху единичный вектор, задающий направление результата.

Формула показывает, как найти поле для контуров любой формы, проводя интегрирование по точкам. Современные численные методы лежат в основе действия компьютерных приложений (наподобие Maxwell 3D) по решению соответствующей задачи. Уравнение согласуется с законами Гаусса (магнитной индукции) и Ампера (циркуляции магнитного поля). Георг Ом использовал знания о компасе, выводя известную зависимость. Форму линий поля получим при помощи магнитных стрелок и силы оставления направления неизменным (см. заметку про закон Ома для участка цепи). Это будет картина магнитной индукции в пространстве, экспериментально подтвердившая закон Био-Савара-Лапласа.

Позволило сделанное Амперу в 1825 году показать: электрический ток в некоторых случаях является аналогом постоянного магнита. Появилась новая модель, которая лучше согласовывалась с действительностью, нежели схема диполей Пуассона. Подобная абстракция объясняла отсутствие в природе изолированных магнитных полюсов. По современным представлениям, кусок стали намагничивается, оттого что диполи элементарных частиц и молекул приобретают упорядоченность. На этом основаны контуры размагничивания сердечников трансформаторов, которые перед выключением питания вызывают затухающие колебания тока. В результате эффект упорядоченности размывается, выраженные свойства пропадают.

Спин электрона

Наличие магнитного момента объясняется существованием спинов (понятие введено в 20-х годах XX века) – угловой момент частиц микромира. Реальные, не абстрактные вещи, существование подтверждено экспериментально (Штерн-Герлах). Спин является векторной величиной, одинаковой для всех частиц одного типа (например, электронов), описывается специальным квантовым числом. В СИ единицей измерений служит Дж с, как и для другого углового момента (постоянной Планка). Иногда применяется упрощенная безразмерная запись. Постоянная Планка опускается. Указывается просто спиновое квантовое число (s, ms).

Благодаря наличию спина, элементарная частица обзаводится магнитным моментом, вычисляемым по формуле: в числителе произведение спинового углового момента на заряд частицы и g-фактор (постоянные, приводимые в различных справочниках для тех или иных элементарных частиц); в знаменателе – удвоенная масса элементарной частицы. Как видите, поддается учету, максимальную намагниченность материала в заданных условиях можно заранее рассчитать. Настоящим триумфом квантовой электродинамики явилось предсказание g-факторов для некоторых элементарных частиц.

Открытие Майклом Фарадеем в 1831 году генерации переменным магнитным полем кругового электрического показало: два явления тесно связаны, что явилось предпосылкой созданию (четырех) уравнений Максвелла, частным случаем которых являются большинство формул в этой области, считая упомянутые выше. Исследования шли своим чередом, но несколько разными путями. Интеграцию произвел лорд Кельвин, известный как Вильям Томпсон, который показал наличие H (напряженность) и B магнитной индукции, первая характеризует модель Пуассона, вторая – Ампера.

Общие сведения

Удивительным образом идеи одного человека могут повлиять на последующее развитие человеческого общества в целом. Таким человеком был Майкл Фарадей, не слишком разбирающийся в хитросплетениях современной ему математики, но прекрасно понимающий физический смысл известных к тому времени сведений о природе электричества и магнетизма благодаря выдвинутой им концепции полевых взаимодействий.

Существованию современного общества, основанного на использовании электричества, магнетизма и электродинамики, мы обязаны целой плеяде замечательных учёных. Среди них надо отметить Ампера, Эрстеда, Генри, Гаусса, Вебера, Лоренца и, безусловно, Максвелла. В конечном итоге они свели науку об электричестве и магнетизме в единую картину, которая послужила основой целой когорте изобретателей, создавших своими творениями предпосылки для появления современного информационного общества.

В аккумуляторных дрелях обычно используется универсальный двигатель, который может работать как на постоянном, так и на переменном токе

Мы живём в окружении электродвигателей и генераторов: они наши первые помощники на производстве, на транспорте и в быту. Любой уважающий себя человек не мыслит существования без холодильника, пылесоса и стиральной машины. В приоритете также микроволновая печь, фен, кофемолка, миксер, блендер и — предел мечтаний — электромясорубка и хлебопечка. Безусловно, кондиционер тоже страшно полезная штука, но если нет средств для его приобретения, то сойдёт и простой вентилятор.

У некоторых мужчин запросы несколько скромнее: пределом мечтаний самого неумелого мужчины является электродрель. Некоторые из нас, безуспешно пытаясь завести автомобиль в сорокаградусный мороз и безнадежно терзая стартер (тоже электродвигатель), втайне мечтают о приобретении машины производства Tesla Motors на электродвигателях и аккумуляторах, чтобы забыть навсегда о проблемах бензиновых и дизельных моторов.

Электродвигатели повсюду: они поднимают нас в лифте, они перевозят нас в метро, электричках, трамваях, троллейбусах и скоростных поездах. Они доставляют нам воду на этажи небоскрёбов, приводят в действие фонтаны, откачивают воду из шахт и колодцев, прокатывают сталь, поднимают тяжести, работая в различных кранах. И делают очень много других полезных дел, приводя в движение станки, инструменты и механизмы.

Даже экзоскелеты для людей с ограниченными возможностями и для военных выполнены с использованием электродвигателей, не говоря уже о целой армии промышленных и исследовательских роботов.

Сегодня электродвигатели трудятся в космосе — достаточно вспомнить марсоход Curiosity. Они трудятся на земле, под землёй, на воде, под водой и даже в воздухе — не сегодня, так завтра (статья написана в ноябре 2015 г.) самолёт Solar Impulse 2 наконец-то закончит своё кругосветное путешествие, а беспилотным летательным аппаратам на электродвигателях уж просто несть числа. Недаром вполне серьёзные корпорации сейчас трудятся над сервисами доставки почтовых отправлений с помощью беспилотных летательных аппаратов.

Графическое изображение магнитного поля. Отличие линий магнитного поля от линий электростатического поля.

Так как магнитное
поле является сило­вым,
то его, по
аналогии с электрическим, изображают
с помощью линий
магнитной индукции —
линий, касательные к кото­рым в каждой
точке совпадают с направ­лением
вектора В. Их направление зада­ется
правилом правого винта: головка винта,
ввинчиваемого по направлению то­ка,
вращается в направлении линий маг­нитной
индукции.

Линии магнитной
индукции можно «проявить» с помощью
железных опилок, намагничивающихся в
исследуемом поле и ведущих себя подобно
маленьким маг­нитным стрелкам. На
рис. 162, а показаны линии магнитной
индукции поля кругового тока, на рис.
162, б — линии магнитной индукции поля
соленоида (соленоид — равномерно
намотанная на цилиндрическую поверхность
проволочная спираль, по которой течет
электрический ток).

Линии магнитной
индукции всегда за­мкнуты
и охватывают
проводники с током. Этим они отличаются
от линий напряжен­ности электростатического
поля, которые являются разомкнутыми
(начинаются
на положительных зарядах и кончаются
на отрицательных).

На
рис. 163 изображены линии магнитной
индукции полосового магнита; они выходят
из северного полюса и входят в южный.
Вначале казалось, что здесь наблюдается
полная анало­гия с линиями напряженности
электростатичес­кого поля и полюсы
магнитов играют роль магнитных «зарядов»
(магнитных монополей). Опыты показали,
что, разрезая магнит на части, его полюсы
разделить нельзя, т. е. в отличие от
электрических зарядов свободные
магнитные «заряды» не существуют,
поэтому линии маг­нитной индукции не
могут обрываться на полю­сах. В
дальнейшем было установлено, что внут­ри
полосовых магнитов имеется магнитное
поле, аналогичное полю внутри соленоида,
и линии магнитной индукции этого
магнитного поля яв­ляются продолжением
линий магнитной индук­ции вне магнита.
Таким образом, линии магнит­ной
индукции магнитного поля постоянных
магнитов являются также замкнутыми.

До сих пор мы
рассматривали макро­скопические
токи, текущие в проводниках. Однако,
согласно предположению фран­цузского
физика А. Ампера (1775—1836), в любом теле
существуют микроскопиче­ские токи,
обусловленные движением элек­тронов
в атомах и молекулах. Эти микро­скопические
молекулярные токи создают свое магнитное
поле и могут поворачи­ваться в магнитных
полях макротоков. Например, если вблизи
какого-то тела по­местить проводник
с током (макроток), то под действием его
магнитного поля микро­токи во всех
атомах определенным образом ориентируются,
создавая в теле до­полнительное
магнитное поле.

Направление — вектор — индукция — магнитное поле

Направление вектора индукции магнитного поля определяется следующим образом.
 

В зависимости от направления вектора индукции внутреннего магнитного поля индукция В результирующего магнитного поля может быть больше или меньше магнитной индукции В0 внешнего поля. Следует отметить, что магнитные свойства твердого тела, состоящего из огромного числа взаимодействующих атомов, определяются не только магнитными свойствами отдельного атома, но и его взаимодействием с соседними атомами.
 

Ля о1б м / с, а направление его движения совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля.
 

Диамагнетизм, в результате ларморовой прецессии от каждого электрона в атоме возникает круговой ток, который с направлением вектора индукции магнитного поля составляет левовинговую систему. Следовательно, создаваемая этим круговым током дополнительная индукция магнитного поля направлена навстречу вектору индукции внешнего магнитного поля. Магнитный момент атома, возникающий в результате прецессии, и намагниченность также направлены противоположно вектору индукции внешнего магнитного поля.
 

Из этих же соображений введем понятие о силовой линии магнитного поля как о кривой, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля.
 

При протекании тока по обмотке АХ возникнет магнитное поле, вектор индукции которого направлен, как это показано на рисунке; при изменении направления тока изменится и направление вектора индукции магнитного поля. Таким образом, если по обмотке АХ или BY течет переменный ток, то вектор индукции магнитного поля внутри статора будет совершать гармонические колебания с частотой тока.
 

Удельные потери в 1 кг стали при частоте 50 Гц и индукции от 0 2 до 2 0 Тл для современных марок холоднокатаной анизотропной стали по ГОСТ 21427 — 83 приведены в табл. 8.10 и частично в табл. 8.9. Следует учитывать, что эти данные справедливы для того случая, когда направление вектора индукции магнитного поля совпадает с направлением прокатки стали.
 

Для характеристики магнитного поля вводится векторная величина В, которая называется индукцией магнитного поля. Направление вектора индукции магнитного поля совпадает с направлением силы, действующей на северный конец магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля.
 

В однородном магнитном поле с индукцией В распо-ложены вертикально на расстоянии I два металлических прута, замкнутых наверху ( рис. VI. Плоскость, в которой располо-прутья, перпендикулярна направлению вектора индукции магнитного поля. По прутьям без трения и без нарушения контакта скользит с постоянной скоростью v перемычка ab массой га.
 

Отсюда мы заключаем, что частица движется снизу вверх и, пройдя сквозь свинец, теряет часть энергии. Определив таким образом направление вектора скорости и зная направление вектора индукции магнитного поля, мы найдем и знак заряда этой частицы; он оказался положительным. Аналогично определяется знак других элементарных частиц по фотографиям их треков в камере Вильсона или в пузырьковой камере.
 

Любой магнетик обладает диамагнетизмом. Если он является парамагнетиком, то его диамагнетизм вызван процессией магнитных моментов атомов вокруг направления вектора индукции магнитного поля, созданного в системе координат, где магнетик как целое покоится. Другими словами, его диамагнетизм является результатом прецессии атомов относительно кристаллической решетки магнетика. Приведем во вращательное движение магнетик как целое. Отдельные атомы представляют собой маленькие гироскопы, которые стремятся сохранить направление своей оси вращения в пространстве. Поэтому направление магнитных моментов отдельных атомов в пространстве сохраняется неизменным.
 

Существуют трубки с электромагнитным управлением, которые применяются, например, в телевизорах. В этих трубках отсутствуют управляющие электроды, а на горловину трубки надеваются специальные катушки, по которым течет ток, величина и направление которого меняются. При изменении величины и направления вектора индукции магнитного поля соответственно меняются величина и направление силы Лоренца, отклоняющей электронный пучок.
 

Во внешнем магнитном поле создаются магнитные моменты атомов диамагнетика. Они ориентируются противоположно направлению вектора индукции В0 внешнего поля. Ориентация индуктированных магнитных моментов определяет направление вектора индукции внутреннего магнитного поля в диамагнетике.